Oorspronkelijk gepubliceerd in 2007

Uit het hoofd: vierkantswortels!

Stel dat iemand op café zich tussen twee pinten door afvraagt hoeveel de vierkantswortel van 6241 is, en dat jij daarop "79" antwoordt. Droom je daar soms van? Dikwijls zal het zich niet voordoen, maar als... dan ben je de held. 't Is de moeite.

Voor we eraan beginnen, eerst dit: je kent de kwadraten van de getallen onder de 10: 1x1=1, 2x2=4, ... , 9x9=81. Daaruit kan je afleiden dat...

de wortel van een kwadraat eindigend op 1 eindigt op 1 of 9 (1²=1 of 9²=81)
de wortel van een kwadraat eindigend op 4 eindigt op 2 of 8 (2²=4 of 8²=64)
de wortel van een kwadraat eindigend op 9 eindigt op 3 of 7 (3²=9 of 7²=49)
de wortel van een kwadraat eindigend op 6 eindigt op 4 of 6 (4²=16 of 6²=36)
de wortel van een kwadraat eindigend op 5 eindigt op 5 (5²=25)

't Is misschien niet indrukwekkend maar je hebt het nodig voor de berekening van duurdere vierkantswortels. We kijken eerst naar de vierkantswortel van getallen met 3 of 4 cijfers (tot 9999). Daarna gaan we verder, Where No Man Has Gone Before.

Getallen van 3 of 4 cijfers

De vierkantswortel van een getal van 3 of 4 cijfers heeft 2 cijfers. Hoe vind je die? We nemen als uitgangspunt het café-getal van daarnet, 6241.

Je begint met een ruwe benadering. 80²=6400 (da's teveel) en 70²=4900, dus de wortel ligt ergens tussen 70 en 80 (exclusief). Daarmee weet je dat het eerste cijfer een 7 is.

Het tweede cijfer moet een 1 of een 9 zijn, want zoals net gezegd: alleen daarmee krijg je een kwadraat eindigend op 1, zoals in dit geval het getal 6241. Welk van beide is het? Om dit te berekenen, vermenigvuldig je het getal dat je al hebt (die 7) met "zichzelf + 1", zijnde 8. Dat geeft 56. Die uitkomst vergelijk je met 62, het eerste deel van het kwadraat. Is het meer, dan heb je teveel en dan neem je het kleinste alternatief, in dit geval 1. Is het te weinig (zoals hier: 56 < 62), dan neem je het grootste, 9. Voila, de vierkantswortel van 6241 is 79.

We herhalen: wat is de vierkantswortel van 6241?

Het antwoord ligt tussen 70 en 80, want 70² <= 6241 < 80². Het antwoord is dus 7*.
Het tweede cijfer is een 1 of een 9, want alleen 1² of 9² leidt tot die laatste "1" in 6241. Welk van beide? Als 7 * (7+1) kleiner is dan 6241, dan heb je te weinig en kies je de grote variant (9), anders de kleine (1).
De oplossing is dus 79.

Een ander voorbeeld: wat is de vierkantswortel van 3969? Antwoord:

39 ligt tussen 6² en 7², dus het gezochte getal begint met een 6.
Het tweede cijfer moet een 3 of een 7 zijn (want het kwadraat, 3969, eindigt op een 9).
Vermits 6*(6+1) > 39 (teveel!), nemen we het kleinste van de twee, zijnde het getal 3.
De vierkantswortel van 3969 is 63.

Getallen met 5 cijfers

De vierkantswortel telt in dit geval 3 cijfers.

Hiervoor moet je de kwadraten van de getallen tot 20 uit het hoofd kennen. We hebben dat elders op deze pagina's al eens gezegd, dus je kan er beter aan beginnen. Zie het kadertje hiernaast.

De werkwijze is dezelfde als daarnet. We illustreren het met het zoeken naar de vierkantswortel van 15129.

Die ligt ergens tussen 120 en 130, want 120²=14400 en 130²=16900. De eerste twee cijfers zijn dus 12.

Het laatste cijfer is een 3 of een 7 (want alleen de kwadraten van deze getallen eindigen op een 9). We passen hetzelfde procédé toe als daarnet: 12 * (12+1) = 156 en da's meer dan 151. Daarom kiezen we voor het kleinste alternatief, de 3. Het antwoord is dus: de vierkantswortel van 15129 is 123.

Hiermee ben je gesteld tot 40000. Daarboven wordt de berekeningswijze enigszins anders -en dat is dan misschien voor een volgende keer. Als iemand op café ondertussen vraagt naar de vierkantswortel van 64009, dan doe je maar of je het niet hebt gehoord.

Uit het hoofd: vierkantswortels!

Getallen van 3 of 4 cijfers

Kwadraten van 11 t.e.m. 19

Getallen met 5 cijfers