Oorspronkelijk gepubliceerd in 2007

Uit het hoofd: vierkantswortels!

Stel dat iemand op café zich tussen twee pinten door afvraagt hoeveel de vierkantswortel van 6241 is, en dat gij daarop "79" antwoordt. Droomt ge daar soms van? Dikwijls zal het zich niet voordoen, maar als... dan ge zijt de held. 't Is de moeite.

Ge kent de kwadraten van de getallen onder de 10: 1x1=1, 2x2=4, ... , 9x9=81. Daaruit kunt ge afleiden dat...

de wortel van een kwadraat eindigend op 1 eindigt op 1 of 9 (1²=1 of 9²=81)
de wortel van een kwadraat eindigend op 4 eindigt op 2 of 8 (2²=4 of 8²=64)
de wortel van een kwadraat eindigend op 9 eindigt op 3 of 7 (3²=9 of 7²=49)
de wortel van een kwadraat eindigend op 6 eindigt op 4 of 6 (4²=16 of 6²=36)
de wortel van een kwadraat eindigend op 5 eindigt op 5 (5²=25)

Daarmee weet ge al iets -maar 't is nog niet echt indrukwekkend.

Getallen van 3 of 4 cijfers

De vierkantswortel van een getal van 3 of 4 cijfers heeft 2 cijfers. Hoe vindt ge die wortel? We nemen als uitgangspunt het café-getal van daarnet, 6241.

Ge begint met een ruwe benadering. 80²=6400 (da's teveel) en 70²=4900, dus de wortel ligt ergens tussen 70 en 80 (exclusief). Daarmee weet ge dat het eerste cijfer een 7 is.

Het tweede cijfer moet een 1 of een 9 zijn, want zoals net gezegd: alleen daarmee krijgt ge een kwadraat eindigend op 1, zoals in dit geval het getal 6241. Welk van beide is het? Ge vermenigvuldigt het getal dat ge al hebt (die 7) met "zichzelf + 1", zijnde 8. Dat geeft 56. Die uitkomst vergelijkt ge met 62, het eerste deel van uw kwadraat. Is het meer, dan hebt ge teveel en dan neemt ge het kleinste alternatief, in dit geval 1. Is het te weinig (zoals hier: 56 < 62), dan neemt ge het grootste, 9. Voila, de vierkantswortel van 6241 is 79.

Een ander voorbeeld: wat is de vierkantswortel van 3969? Antwoord:

39 ligt tussen 6² en 7², dus het gezochte getal begint met een 6.
Het tweede cijfer moet een 3 of een 7 zijn (want het kwadraat, 3969, eindigt op een 9).
Vermits 6*(6+1) > 39 (teveel!), nemen we het kleinste van de twee, zijnde het getal 3.

De vierkantswortel van 3969 is 63.

Getallen van 5 of 6 cijfers

De vierkantswortel telt in dit geval 3 cijfers.

Hiervoor moet ge de kwadraten van de getallen tot 20 uit het hoofd kennen. We hebben dat elders op deze pagina's al eens gezegd, dus ge kunt er beter aan beginnen. Zie het kadertje hiernaast.

De werkwijze is dezelfde als daarnet. We illustreren het met het zoeken naar de vierkantswortel van 15129.

Die ligt ergens tussen 120 en 130, want 120²=14400 en 130²=16900. De eerste twee cijfers zijn dus 12.

Het laatste cijfer is een 3 of een 7 (want alleen de kwadraten van deze getallen eindigen op een 9). We passen hetzelfde procédé toe als daarnet: 12 * (12+1) = 154 en da's meer dan 151. Daarom kiezen we voor het kleinste alternatief, de 3. Het antwoord is dus: de vierkantswortel van 15129 is 123.

Hiermee zijt ge gesteld tot 40000. Daarboven wordt de berekeningswijze enigszins anders -en dat is dan misschien voor een volgende keer. Als iemand op café zich ondertussen afvraagt hoeveel de vierkantswortel van 64009 is, dan doet ge maar of ge het niet hebt gehoord.

Uit het hoofd: vierkantswortels!

Getallen van 3 of 4 cijfers

Kwadraten van 11 t.e.m. 19

Getallen van 5 of 6 cijfers