Oorspronkelijk gepubliceerd op 08jan2014
Monty Hall
Inleiding
Stel dat je meedoet aan een quiz op televisie. Je hebt alle rondes één voor één gewonnen. Alle tegenstanders zijn uitgeschakeld, je zit in de finale. De hoofdprijs bestaat uit een zak met 1 miljoen euro. Die zak zit verborgen achter één van drie deuren en jij moet kiezen achter dewelke. Kies je de juiste, dan ben je meteen stinkend rijk.
De quizmaster, een afgeborstelde vent, toont jou de drie deuren: deur A, deur B en deur C. Achter één daarvan ligt het fortuin op jou te wachten. Achter de twee andere ligt niets.
Na enige aarzeling ('t is prime time, je komt liefst zo lang mogelijk in beeld) opteer je voor deur C. Daar is geen speciale reden voor, want de drie deuren zien er identiek uit. Je weet dat je 1/3de kans hebt dat je de juiste deur hebt gekozen, en 2/3de dat het een verkeerde is.
"U opteert dus voor deur C!" zegt de quizmaster in dat gezwollen taaltje van hem. "C! Blijft u bij die keuze? Of wil u toch nog liever veranderen?"
"Ik blijf bij mijn keuze", zeg je.
Alle deuren zijn gelijk, waarom zou je dan opeens A of B nemen als je nog maar net C hebt gezegd.
"Mijnheer blijft bij zijn keuze!" herhaalt de quizmaster.
Een luid applaus barst los. De quizmaster stevent af op deur C, trekt ze met een zwaai open, en... .
Vul de afloop zelf maar in, maar... waarom zou de quizmaster vragen of je nog wil veranderen? Zit daar iets achter of is het maar tralala? Zou het -algemeen gesproken- jouw winstkans verhogen als je eerst bijvoorbeeld "A" kiest en dan zegt dat het maar om te lachen was en dat je voor B (of C) gaat?
Nee natuurlijk, het maakt niet uit, wat je ook doet, je hebt altijd 1 kans op 3.
Monty Hall, maar nu echt
Het bovenstaande is niet wat bekend staat als het "Monty Hall" probleem, maar het lijkt er wel op. In het echte Monty Hall probleem stapt de quizmaster, nadat je in eerste instantie een deur hebt gekozen, naar één van de twee andere deuren en zegt:
"Gelukkig dat u deze deur niet had gekozen, want dan was u alvast met lege handen naar huis gegaan!".
En hij opent voor jouw verbaasde ogen die andere deur en inderdaad: goed dat je die niet gekozen had want er blijkt niets achter te liggen! Het publiek, dat met jou meeleeft (het is op dit ogenblik dichte familie), slaakt een zucht van opluchting. De quizmaster richt zich opnieuw tot jou.
"Blijft u bij uw keuze?" vraagt hij. "Of wilt u nog veranderen? Nu kan het nog!"
Dit is een belangrijk moment. Hier wordt over je toekomstige vriendenkring beslist. Er zijn nog twee deuren over, de deur die je net hebt gekozen en een andere. Achter een van de twee ligt de prijs.
"Ik blijf bij mijn keuze", verklaar je.
Een luid applaus barst los. De quizmaster stevent af op de deur van je keuze, trekt ze met een zwaai open, en... .
En?
Doe je er, algemeen gesproken, goed aan om bij jouw keuze te blijven wanneer de quizmaster het jou vraagt zoals hierboven? Of is het verstandiger om te veranderen? Of maakt het niet uit?
Dat is het Monty Hall probleem. Het verschil met het scenario dat wij eerder hebben geschetst, is dat de quizmaster ondertussen een lege deur voor jou heeft geopend.
Denk gerust eerst eens na over het probleem vooraleer je verder leest. Wat is de beste strategie? Veranderen of niet?
Het antwoord is voor vele mensen contra-intuïtief: je doet er wel degelijk beter aan om van deur te veranderen. In vergelijking met de speler die bij zijn oorspronkelijke keuze blijft, verdubbel je je kans op winst (ze stijgt van 1/3de naar 2/3de). Dat betekent natuurlijk niet dat je er elke keer goed aan doet om van deur te veranderen, want soms was jouw eerste keuze toevallig de juiste; maar dat weet je niet vooraf. We bedoelen gewoon dat je met een verander-van-deur strategie de winstkans met een factor twee verhoogt.
Wat!? zeg je, dat kan toch niet? Ik kies een deur, de quizmaster opent daarop een deur waarachter niets te vinden is, en dan zou het onverstandig zijn om niet meer van deur te veranderen? Onzin!
Als je zo redeneert, bevind je je in goed gezelschap, want het zijn in onze eigen ervaring meestal niet de domsten die de kansberekening in het Monty Hall probleem aanvechten en het moeilijkst te overtuigen zijn.
De praktijk
Ikzelf hoorde zowat 25 jaar geleden voor het eerst over het "Monty Hall" probleem. Toen ik na enige discussie aanvaard had dat het inderdaad de beste strategie was om van deur te veranderen, begon ik er andere mensen mee lastig te vallen. Daarbij ook één hardleers echtpaar. Zo hardleers waren ze, dat ik besloot om hen met de neus op de feiten te drukken en hen de gevolgen van hun gebrek aan inzicht te laten ondergaan. Volgens hen maakte het niets uit of iemand van deur veranderde of niet: in beide gevallen had je 1 kans op 2 op de geldprijs. En dus nam ik 3 koffiekopjes en sprak af dat ik telkens onder één van de drie (willekeurig gekozen) een kroonkurk zou verbergen. Zij moesten vervolgens het juiste kopje raden. Daarop zou ik één van de andere kopjes omdraaien met de woorden "kijk, hier lag niets onder", en hen aanbieden om nog te veranderen. Wij spraken zij af dat zij dat consequent niet zouden doen omdat het (volgens hen) toch niks uitmaakte.
Als zij juist raadden, kregen zij 2.5 EUR (100 Bef toendertijd; goed voor ongeveer 3 ongesneden broden). Raadden zij fout, dan moesten zij mij zo'n biljet geven. En dat dan telkens opnieuw. Als de kansen inderdaad fifty-fifty waren, dan zou de geldbalans naar alle waarschijnlijkheid in evenwicht blijven. Ik wist wel beter natuurlijk.
(Ik bevestig hierbij dat ik de intentie had hen achteraf terug te betalen.)
Het spel begon goed. Ik verborg de kroonkurk ("ogen dicht!") onder (laat ons zeggen) kopje A en liet hen dan ("ogen open!") kiezen. Zij wezen naar kopje C, waarop ik de geijkte formule uitsprak "goed dat jullie kopje B niet gekozen hebben, want daar zat niets onder!". Daarop kwam de vraag "of zij nog wilden veranderen". Zoals afgesproken wilden zij dat niet, waarop ik mijn eerste 2.5 EUR incasseerde.
Al na enkele keren werd duidelijk dat ik niet telkens een slecht kopje hoefde om te draaien,want of ik het nu omdraaide of niet, zij bleven toch bij hun eerste keuze. En dus lieten wij al na enkele spelletjes dat deel van de voorstelling achterwege. Daarmee verliep alles veel sneller.
Snel ging het zeker maar, ik moet eerlijk zijn, het liep niet helemaal zoals verwacht. Ik trachtte bij elk spel zo willekeurig mogelijk één van de drie kopjes te selecteren, maar ofwel waren mijn toevalsreeksen voorspelbaar, ofwel keken zij door hun wimpers wanneer ik de kroonkurk verborg. Wat ik ook zou hebben gedaan, gezien mijn financiële toestand. Het experiment werd laat in de nacht afgesloten met een onbeduidend maar moeilijk te slikken verlies van mijnentwege.
Verklaring
Als je een deur hebt gekozen en je verandert niet
... dan heeft het geen belang of de quizmaster op zijn kop gaat staan, nog een andere deur opent, of iemand uit de zaal neerlegt: je hebt een deur gekozen en daar blijf je bij, wat er ook gebeurt. De kans dat daarachter een miljoen euro op jou ligt te wachten, is en blijft 1 op 3. De kans dat de geldprijs niet achter die deur ligt (en dus achter één van de twee andere deuren), is m.a.w. 2 op 3. Knoop dat goed in je oren want nu komt het:
Als je wel verandert van deur
In dat geval: als de prijs achter één van de twee andere deuren ligt ... en die kans is dus 2 op 3 ... dan heb je gegarandeerd prijs! Het is alsof je allebei de deuren mag openen, 't is te zeggen: de quizmaster opent er een en de andere is voor jou, en als een van die twee wint, dan is dat altijd die van jou. (Want de quizmaster opent alleen een verliezende.)
Een verhaaltje als illustratie
Met het voorgaande is eigenlijk alles gezegd, maar we kunnen dit ook illustreren met een verhaal. Veronderstel dat de finale gespeeld wordt tussen 3 personen: iemand die we "de quizmaster" zullen noemen, jij, en nog iemand, Maria genaamd. Iedereen (ook de quizmaster) mag 1 deur kiezen: A, B of C.
Maria kiest als eerste. Omdat alle deuren er hetzelfde uitzien en 'A' daarenboven de eerste letter is van het alfabet, kiest ze voor A. Maria heeft hiermee 1 kans op 3 dat ze straks met de hoofdprijs naar huis gaat.
Wat Maria niet weet, is dat jij de quizmaster hebt omgekocht. "Quizzie" (zo noem je hem) en jij hebben afgesproken dat jullie de hoofdprijs onder elkaar verdelen als een van jullie wint. Samen hebben jullie 2 kansen op 3 dus dat zit snor. Het probleem is dat de quizmaster zijn eigen quiz niet mag winnen, want dat valt op. Daarom heeft hij moeten beloven dat hijzelf altijd een verkeerde deur zal kiezen.
Na Maria is het aan hem. Als een echter loser kiest hij -zoals afgesproken- voor een deur waarachter niets te vinden is.
En dan is het aan jou. Er blijft nog maar 1 deur over, dus veel keuze heb je niet.
Dat was het! Misschien lag de prijs achter deur A; dan gaat de prijs naar Maria en heeft het gekonkelfoes met de quizmaster niets opgebracht. Maar als de prijs achter een van de twee andere deuren ligt (de kans daarop is 2 op 3), is die dank zij die loser altijd voor jou.
Als je van je woord bent, deel je achteraf de prijs met de quizmaster.
En toch ...
"En toch is dat hele Monty Python gedoe onzin!" zeg je. "Als er één lege deur geopend wordt, dan blijven er nog twee over, en achter één van die twee ligt de hoofdprijs. Of je verandert of niet, doet er niet toe: de kans dat je de juiste kiest, is 1 op 2 en daarmee basta."
Maar zo is het niet. Ja, de prijs ligt achter een van de twee gesloten deuren, maar de kans dat ie achter die van Maria ligt, is en blijft 1 op 3. De kans dat ie achter de andere ligt, is dus 2 op 3. (In sporttermen: 't is niet omdat er twee boksers in de ring staan, dat ze beiden 1 kans op 2 hebben om te winnen.) In het Monty Hall scenario haalt de quizmaster een verliezende deur weg uit de verzameling overblijvende deuren. Door uit die gereduceerde verzameling te kiezen, verhoog je je kansen.
Voor wie graag rekent
Met drie deuren is de kans dat de hoofdprijs zich achter een van de twee andere deuren bevindt (niet die van Maria, bedoelen we), 2/3. Als Maria toch nog verandert, heeft ze dus 2/3de kans op de prijs. (Omdat de quizmaster ... maar dat hebben we al zo dikwijls gezegd!)
Met vier deuren is de kans dat de prijs zich achter een van de drie andere deuren bevindt (niet die van Maria), 3/4. Als Maria verandert, heeft ze 1 kans op 2 om de juiste te kiezen (gesteld dat de prijs achter een van die drie ligt). De kans is dus 3/4 * 1/2 = 3/8. (Waarom 1/2? Nadat de quizmaster een van de drie andere deuren heeft geopend, blijven er nog twee over om uit te kiezen.)
Met vijf deuren is de kans dat de prijs zich achter een van de vier andere bevindt (niet die van Maria), 4/5. Als Maria verandert, heeft ze 1 kans op 3 om de juiste te kiezen (gesteld dat de prijs achter een van die vier ligt). De kans is dus 4/5 * 1/3 = 4/15.
Kortom, door haar oorspronkelijke keuze te herroepen nadat de quizmaster een deur heeft geopend, verhoogt ze haar kans
- bij 3 deuren: van 1/3 naar 2/3
- bij 4 deuren: van 1/4 (=2/8) naar 3/8
- bij 5 deuren: van 1/5 (=3/15) naar 4/15
- bij 6 deuren: van 1/6 (=4/24) naar 5/24
Veralgemenend: bij n deuren verhoogt ze haar kans met een factor (n-1)/(n-2) door van deur te veranderen. D.w.z. van 1/n tot
- 1/n * (n-1)/(n-2)
Hoe meer deuren, hoe kleiner het voordeel maar voordelig blijft het, omdat (n-1) ten eeuwige dage groter is dan (n-2).
Dreticus