Oorspronkelijk gepubliceerd in 2004

Hoofdrekenen: vermenigvuldigen

Hoeveel is 84 * 76?

6384, zonder nadenken.

... maar euhhh... laat ons beginnen bij het begin. Om twee getallen van 2 cijfers snel met mekaar te vermenigvuldigen, moet je goed zijn in hoofdrekenen, basta. Hoeveel is 32 * 33? 960 + 96, voila, dat moet eruit komen gelijk niks. De optelling zelf maak je terwijl je de oplossing al begint te zeggen, je weet immers dat het met "duizend" begint. Als je dat kunt, dat snel vermenigvuldigen, dan zijn er hulpmiddelen die het rekenwerk kunnen verlichten maar vergis je niet: wie je ook bent, je moet oefenen.

De meeste hulpmiddelen kunnen worden afgeleid met twee bekende formules uit je schooltijd. Ze blijven verrassen.

(a-b)*(a+b) = a2 - b2

Kwadraten

We kijken eerst naar de berekening van kwadraten, omdat we die ook kunnen gebruiken om andere berekeningen te vergemakkelijken.

Een kwadraat kan geschreven worden als: a2 = (a-b) * (a+b) + b2. Dit is gewoon een herschikking van bovenstaande formule.

Neem a=76 als voorbeeld. Hoeveel is 762? Spring naar het dichtstbijzijnde veelvoud van 10 (in dit geval 76->80, dus doe er 4 bij) en bereken eerst en vooral (76+4) * (76-4). Dat is 80*72 en dat is niet zo moeilijk: 80*70 + 80*2 = 5760. Doe er vervolgens 42 bij en je bent er: de uitkomst is 5776.

Het kwadraat van 74 is ofwel 70*78+42, ofwel 80*68+62. Het hangt ervan af of je op de 70 mikt (74-4) of op de 80 (74+6). Kies maar.

Kwadraten van een getal dat maar 1 eenheid afwijkt van een tiental (zoals 71) zijn op deze manier extra-gemakkelijk: 712 = 70*72+1 (zie ook infra voor een alternatief). Het kwadraat van 69 is 68*70+1. En vergeet die laatste "+1" in de berekening, zeg gewoon "1" aan het eind want het kwadraat van 1 of 9 eindigt altijd op 1. Dus "692 = 68*70 met als laatste cijfer van de uitkomst "1" i.p.v. "0".

Kwadraten met "5" als laatste cijfer, zoals 252, 352 enzovoort, zijn nog simpeler: je vermenigvuldigt de tientallen errond en je doet er 52bij. Dan krijg je in dit geval 25*25=(20*30)+52. Nog een ander bijvoorbeeld: 75*75=(70*80)+52.

Andere vermenigvuldigingen: centreren rond de 10

Er bestaat een heel interessant hulpmiddel voor berekeningen waarbij je kan centreren rond een veelvoud van tien, zoals

De regel is: je kwadrateert het basisgetal "a" (in het voorbeeld 29*31 is dat 30) en je trekt daar het kwadraat van b af (in het voorbeeld is b gelijk aan 1). Dus 29*31=302-12=899.

In het tweede geval (51*29) centreren we rond de 40. De berekening is dan 402-112 = 1600-121=1479. Ja, je moet de kwadraten tot en met pakweg 20 van buiten kennen, er is geen ontkomen aan. Maar ze zijn niet zo moeilijk: 122=144, 132=169, 142=196 (laatste twee cijfers omgekeerd), 152=225, 162=256 (denk aan de binaire getallen), en dan nog 172=289, 182=324 en 192=361.

Hoewel dit centreren rond een veelvoud van tien in een aanzienlijk gevallen kan helpen om snel tot een resultaat te komen, moet je er je niet op blindstaren. Kijk eerst en vooral of je de vermenigvuldiging niet "gewoon" uit het hoofd kan doen. In het tweede voorbeeld (51*29) was het bijvoorbeeld simpeler om 50*29 direct te berekenen (=100*29/2) en daar dan nog één keer 29 bij op te tellen.

Een simpele Javascript-applicatie om te oefenen ...

 

Los op!


 
 
 
 


Score:

Er zijn 3 types oefeningen:

(a) 61 * 59 = (60 * 60) - (1 * 1) = 3599

(centreren rond het tiental, hier 60)

(b) 67 * 63 = (70 * 60) + (7 * 3) = 4221

(centreren rond het vijftal, hier 65)

(c) 66 * 68 = ...

(zelf uit te rekenen, zonder truukje)

Op die manier oefen je de regeltjes en leer je snel de juiste strategie te kiezen.

Centreren: het hoeft niet altijd rond de 10

Als je kan centreren rond de "5", is de regel gelijkaardig. Hoeveel is 26*24? Dat is (25+1)*(25-1), dus 252-12 oftewel 624. Precies zoals daarnet.

"Veel ben ik daar niet mee", zeg je: 25*25, dat gaat wel, maar 45*45 of 75*75, da's niet zo gemakkelijk! Toch wel! We hebben daarnet gezien bij de kwadraten hoe het moet:

Hoeveel is 74*76? Het is gewoonweg (70*80) + 4*6. Hoeveel is 48*42? 't Is (40*50)+(8*2). En die 26*24 van daarnet is gelijk aan (20*30)+(6*4). Allemaal gecentreerd rond de 5.

Als je eenmaal beseft hoe gemakkelijk dit is, dan kan je dit ook als referentie nemen voor berekeningen in de buurt. Hoeveel is 27*24? Dat is 26*24 (en dus 20*30+(6*4)) en daar nog een keer 24 bij.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Kwadraten

Het volgende is beperkt toepasbaar, maar het kan nuttig zijn. Een kwadraat zoals 712 of 792, waarbij je 1 eenheid boven of onder het tiental zit, kan via een omweg (!) eenvoudiger berekend worden.

We beginnen met 712 als voorbeeld. Vermits (in de bovenstaande formule) a=70 en b=1, wordt de formule gereduceerd: (a+1)2 = a2+2a+1. Het "moeilijke" kwadraat 712 is dus te berekenen als 702 + 2*70 +1 en dat is 4900+140+1=5041. En 792 is te berekenen als 802 - 2*80 +1 en dat is 6241. Bemerk het minteken hier -de aftrekking maakt het iets moeilijker maar het blijft veel gemakkelijker dan het oorspronkelijke kwadraat.

Nog enkele voorbeelden:

Onthoud: als je boven het tiental zit (zoals 71 > 70), tel je het tiental er twee keer bij; zit je eronder (79 < 80), dan trek je het er twee keer af.

Vrees je dat je het nooit zal onthouden, met dat optellen en aftrekken? Opnieuw: bedenk dat de uitkomst altijd eindigt op 1 (1*1=1 en 9*9=81). Je moet dus maar twee termen onthouden in plaats van drie: 302+2*30 en 902-2*90 in ons voorbeeld. Zoals daarnet al gezegd: vergeet die laatste "+1" in de berekening, en zeg gewoon "1" aan het eind. Het wordt dus:

Slotwoord

Verdrink jezelf niet in een te groot aantal regeltjes met een klein toepassingsgebied, want dan verspil je meer tijd aan het selecteren van het meest toepasselijke regeltje dan aan de berekening zelf.

Je zal in elk geval moeten oefenen als je het echt snel wil doen.