Oorspronkelijk gepubliceerd in juni 2024

Hoe ver ligt de horizon?

't Is vakantie en je ligt met een blikje bier in je strandstoel te genieten van een royale plek schaduw. Aan de einder drijft een schip en de vraag komt in je op: "Hoe ver ligt de horizon eigenlijk?".

Een goede wifiverbinding doet wonderen. "Voor een waarnemer op de grond (ooghoogte 1,75 m)", zegt Google, "is op aarde (r = 6371 km) de afstand tot de horizon 4,7 km.". Een kleine 5 kilometer. Voilą, niemand kan nu nog zeggen dat je vandaag niks hebt gedaan. Maar een volgende vraag dient zich aan: hoe berekenen "ze" zoiets?

Een van mijn wiskundeleraren op de middelbare school zei dat wij van alle leerstof die wij kregen, eigenlijk maar twee dingen moesten onthouden. Een ervan ben ik vergeten maar de andere was de stelling van Pythagoras. Met deze stelling los je problemen zoals deze op vanuit je strandstoel. Zonder Google bedoelen we. Het enige dat je nodig hebt, buiten de stelling zelf, is de omtrek van de aarde. Die bedraagt 40 000km en als het waar is dat de omtrek van een cirkel gelijk is aan 2πr, dan is de straal van de aardschijf 6369km. (Google maakt er 6371km van, dus we doen verder met 6371).

Wat heeft de horizon met driehoeken te maken? Onderstaande tekening, uit Pyth28-5.pdf, juli 1989, maakt het duidelijk:

Hoe ver kan je zien?

Afbeelding 1: Hoe ver ligt de horizon?

Die kerel op de tekening, dat ben jij. Je bent opgestaan uit je strandstoel ter hoogte van punt A. Je ooghoogte is h (iets minder dan je lengte). De afstand tot H (de horizon) is a. De lijn OH is een raaklijn.

Driehoek HOM is een rechthoekige driehoek. We kennen de lengte van twee zijden ervan: de ene is r, de straal van de aarde, en de tweede is r+h, diezelfde straal met een mens erbovenop. Daardoor is de lengte van de derde zijde te berekenen met de stelling van Pythagoras, want het kwadraat van de schuine zijde (r+h) is gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden (r en a). In dit geval:

Afstand a, de afstand tussen onszelf en de horizon, is dan te berekenen als volgt:

We rekenen in meter, dus de straal van de aarde geven we in als 6 371 000m. De ogen van de gemiddelde mens situeren zich ongeveer 1.60m boven de grond. Samen geeft dit:

De horizon bevindt zich op 4 515m, of 4.5km. Iets minder dan bij Google, maar dat komt omdat ze daar werken met ooghoogte = 1.75m. Hoe groter je bent, hoe verder je kan zien.

Sta je op een ander hemellichaam, dan wordt de uitkomst anders. Op de maan bijvoorbeeld (r=1737.5 km, vraag het aan Google) ligt de horizon volgens Formule 1 op 2358m, zowat de helft van de afstand op aarde.

Een vuistregel

De ooghoogte (h) is sowieso heel klein in vergelijking met r (de straal van de aarde). De tweede term (h2) draagt dus beperkt bij tot de uitkomst. We kunnen de formule vereenvoudigen door dit gedeelte weg te laten:

Ja, zo zijn we. En als we daarenboven "twee keer de straal van de aarde" (2r = 2 * 6371km) afronden naar "13 000 000m" dan wordt de formule:

Met h nog steeds gelijk aan 1.60m, wordt de uitkomst van deze vereenvoudigde formule in ons voorbeeld:

Bijna hetzelfde dus als de precieze berekening, zoals het een vuistregel past. Het wordt zelfs nog gemakkelijker als de uitkomst wordt uitgedrukt in kilometer:

Deze vereenvoudigde formule geeft de afstand a tot aan de horizon weer in kilometer maar let op, ooghoogte h wordt nog steeds ingevoerd in meter. (Dit vereenvoudigt het rekenwerk en het is niet tegen de natuur.)

Van hoe ver zie je de toren van de kerk?

Stel dat je bent gaan zwemmen en je ben gevaarlijk ver afgedreven van de kust. Tot hoe ver kan je de kerktoren zien van het kuststadje waar je die ochtend je laatste croissant hebt gegeten?

Antwoord: stel dat de toren 50m hoog is (h = 50m). Op het moment dat je nog net het stipje van de toren kan zien, weet je volgens Formule 2 dat je √(13*50) = 25.5km bent afgedreven en dat het dus inderdaad je allerlaatste croissant is geweest.

Hoe ver zijn windmolens zichtbaar vanuit je appartement op de dijk?

We blijven aan zee. De burgemeesters van de kuststeden maken zich zorgen over windparken in de Noordzee. Ze vrezen voor visuele vervuiling van de horizon. Wat is daar van aan? Ik baseer mij op een artikel in nr. 53 van het tijdschrift "De Grote Rede", uitgegeven door het Flanders Marine Institute -maar zie mijn bedenkingen verderop.

Hoe hoog is het terras van een 10de verdieping?

Als we 3m schatten voor de hoogte van een verdieping in een appartement, dan is de onderkant van het terras op het tiende 30m hoog. "Ooghoogte" is in dat geval dus 30m+1.6m=31.6m.

We gebruiken een concreet voorbeeld als illustratie. Stel dat de windmolens 150m hoog zijn, en jij staat op de tiende verdieping van je kustappartement met zicht op zee. Je ooghoogte schatten we als 31.6m (zie het kader hiernaast). Hoe ver moeten de windmolens verwijderd zijn van de kust opdat je ze niet meer ziet?

De formule die wordt gegeven in het tijdschrift is:

waarbij h1=hoogte windmolen, h2=hoogte tiende verdieping, beide in meter. De uitkomst is in zeemijlen, (1 zeemijl = 1852m). Landrotten moeten het resultaat vermenigvuldigen met 1.85 om tot kilometers te komen.

Uitgerekend:

Windmolens op 51.82 * 1.85 = 96km afstand zouden in theorie dus nog net te zien zijn vanuit de tiende verdieping van een appartement op het strand! (Vanop het strand, op zeeniveau, zou het "slechts" 72km zijn.) In praktijk kan je nooit zo ver zien, al is het maar door atmosferische omstandigheden en we spreken daarenboven over het alleruitstekendste topje van de molens, d.w.z. een stipje op de horizon maar toch: dit lijkt erg ver.

De uitkomsten in het artikel roepen vragen op. Ik denk dat je in dit voorbeeld gewoon Formule 1 van hierboven twee keer moet toepassen: een keer voor de windmolen tot aan de horizon, en een keer voor het appartement tot aan de horizon. Zoals in onze amateuristische aanpassing van de originele tekening:

Vanuit het appartement nar de windmolen

Afbeelding 2: Tot waar zie je de windmolen vanuit het kustappartement?

Volgens Formule 1 bedraagt de afstand vanaf het appartement (h=31.6m) tot aan de horizon H 20.1km. De afstand van de windmolens (h=150m) tot aan de horizon H bedraagt 43.7 km. Samengeteld is dat bijna 64km -een pak minder dan de 96km volgens Formule 3.

De voorbeelden in het artikel wijken zelf ook af van de formules die daarin worden vermeld. Er staat bijvoorbeeld "Theoretisch is een windturbine van 120m hoog bij volstrekt heldere hemel en vanop ooghoogte zelfs te zien tot op 55-60km". Met de achterliggende formule is dat echter 5.37 * (√120 + √1.5) = 65.6km.

Het zou me verwonderen dat een tijdschrift (in dit geval: "De Grote Rede") de mist ingaat terwijl ik het bij het rechte eind zou hebben. Gewoonlijk is het omgekeerd. Wordt dus vervolgd.