Oorspronkelijk gepubliceerd op 25jan2014

Over de Som der Natuurlijke Getallen

De natuurlijke getallen zijn 0, 1, 2, 3, ... enzovoort (of de 0 erbij is of niet, maakt niet zoveel uit). Wat is de som van een reeks opeenvolgende natuurlijke getallen te beginnen vanaf 1? Bijvoorbeeld: wat is het resultaat van 1+2+3+4+5 ?

Er bestaat een formule voor: de som van de getallen 1 tot n is gelijk aan

    n(n+1)/2

In dit voorbeeld (waarbij n=5) is de som 5*(5+1)/2 = 15. En inderdaad, tel maar na: 1+2+3+4+5=15.

De formule is gelinkt aan een anekdote. Omstreeks 1784 werd op een school ergens in Braunschweig (Duitsland) de kleine Carl Friedrich Gauss tesamen met de hele klas opgezadeld met een schijnbaar nutteloze en tijdrovende taak: zij kregen de opdracht om de som van de getallen van 1 tot 100 te berekenen. De leraar, die meende dat de kleine kinderen wel een tijd zoet zouden zijn met deze taak, was dan ook niet weinig verbaasd toen de kleine Carl Friedrich quasi-onmiddellijk het antwoord 5050 gaf.

Geheel getal

De formule levert natuurlijk altijd een geheel getal op, omdat 1 van de 2 factoren in de teller (n of n+1) "even" is en dus deelbaar door 2.

De kleine Carl (die later zou uitgroeien tot een wereldvermaard wiskundige en natuurkundige) had namelijk intuÔtief begrepen dat je de opgave kon zien als een som van simpele sommetjes:

  1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

  = 1+100 + 2+99 + 3+98 + ....

Je telt 1 bij de 100, 2 bij 99, 3 bij 98... allemaal sommetjes gelijk aan 101... en er zijn exact 50 van van die sommetjes. De uitkomst is dus:

   50 * 101 = n/2 * (n+1) = 5050

Of het verhaal ook echt gebeurd is, weet natuurlijk niemand.

Als iemand u nu vraagt hoeveel de som is van alle natuurlijke getallen te beginnen vanaf 1... niet alleen de eerste zoveel, nee, van allemaal! dan is dat andere koek. Wat denkt u van (oneindig)*(oneindig+1)/2 ? Als we het ons goed herinneren van het infinitesimaalrekenen op school -helaas onderwezen op een moment in ons bestaan dat onze aandacht ook naar andere dingen uitging- zou dat gelijk zijn aan oneindig.

Maar dat is niet juist, zegt men. Het juiste antwoord is namelijk...

-1/12

Jawel, "min ťťn twaalfde": de som van 1+2+3+4+5+.... is gelijk aan -1/12. De som van alle positieve gehele getallen zou dus negatief zijn, dat kan tellen! Je kan het zelfs bewijzen.

Srinivasa Ramanujan

Afbeelding 1a: Srinivasa Ramanujan

Deze geniale wiskundige uit IndiŽ (1887-1920) bewees deze uitkomst al veel eerder.

Het bewijs... de voorbereiding

Laat ons beginnen met een andere som, we noemen ze S1:

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

De uitkomst hiervan is ofwel 0...

S1 = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ...

... ofwel 1:

S1 = 1 - (1-1) - (1-1) - ...

Voor de duidelijkheid schrijven we het op deze manier, omdat -1+1 gelijk is aan -(1-1.)

Men kan, zo zegt men, aantonen dat de uitkomst 1/2 is, het gemiddelde van de twee uitkomsten. En laat ons daar van uitgaan, al heeft het niet veel belang zoals we verder zullen zien. Dus:

  S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2

Vooraleer over te gaan naar de volgende stap, voegen we nog een tweede reeks toe aan ons arsenaal:

Over die S2

Je kan S2 herschrijven als volgt:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ....

= 1 - (2 - 3) - (4 - 5) - (6 - 7) - ...

= 1 + 1 + 1 + 1 ...

... en dat is toch een andere uitkomst dan die in de tekst hiernaast. En als je dit doorrekent, krijg je S1 + S2 = 2+2+2+2+... = 2*S2, en dat dus S1=S2.

Wat mij betreft is er toch iets raar aan dit soort rekenen. Maar laat het ons dus maar bij de officiŽle versie houden!

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...

De uitkomst is ons voorlopig nog onbekend, maar als we de reeks bij zichzelf optellen, dan krijgen we dit:

S2 + S2 =

    1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...

      + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...

  ---------------------------------

    1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...

En dat is dus reeks S1 van hierboven, met als uitkomst 1/2. We kunnen dan zeggen dat S2 + S2 = S1 = 1/2 en als we dat verder uitrekenen, krijgen we S2 = 1/4. Dus:

  S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4

En wat als S1 gelijk is aan 0 of 1?

Als S1 gelijk is aan 0, dan is S2 volgens de redenering hiernaast ook gelijk aan 0. En dan is S ook gelijk aan 0, vul maar in.

Als S1 gelijk is aan 1, dan is S2 volgens de redenering hiernaast gelijk aan 1/2 (want S2 + S2 = S1 = 1). En dan is S gelijk aan -1/6.

En het gemiddelde van 0 en -1/6 is -1/12... dus dat lijkt alvast aannemelijk.

Het eigenlijke bewijs

We waren echter op zoek naar de uitkomst van de reeks 1+2+3+4... . Laten we die reeks S noemen. We maken nu de volgende berekening:

S - S2 =

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

  - 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - ...

  ------------------------------

    0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + ...

En dat is gelijk aan:

    4 * (1 + 2 + 3 + ...)

  = 4 * S

Samengevat:

S - S2 = 4*S

Oftewel:

-S2 = 3*S

En vermits S2 = 1/4 (zie hogerop), kunnen we deze laatste vergelijking ook schrijven als:

-1/4 = 3*S

En na wederom simpele algebra:

  S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12

Dat is het dus... de uitkomst van de reeks 1+2+3+4+5+6... is gelijk aan -1/12.

Bedrieger! zeg je. Maar dit resultaat staat blijkbaar niet ter discussie bij het volk dat het oneindig veel veel beter weet dan ik.

Links

Ik heb dit natuurlijk niet zelf verzonnen, ik haalde mijn inspiratie bij Ed Copeland en Tony Padilla, fysici aan de universiteit van Nottingham, die hiermee in de actualiteit kwamen in januari 2014.