Oorspronkelijk gepubliceerd in 2004
Hoofdrekenen: vermenigvuldigen
Hoeveel is 84 * 76?
6384, zonder nadenken.
... maar euhhh... laat ons beginnen bij het begin. Om twee getallen van 2 cijfers snel met mekaar te vermenigvuldigen, moet je goed zijn in hoofdrekenen, basta. Hoeveel is 32 * 33? 960 + 96, voila, dat moet eruit komen gelijk niks. De optelling zelf maak je terwijl je de oplossing al begint te zeggen, je weet immers dat het met "duizend" begint. Als je dat kunt, dat snel vermenigvuldigen, dan zijn er hulpmiddelen die het rekenwerk kunnen verlichten maar vergis je niet: wie je ook bent, je moet oefenen.
De meeste hulpmiddelen kunnen worden afgeleid met twee bekende formules uit je schooltijd. Ze blijven verrassen.
(a-b)*(a+b) = a2 - b2
Kwadraten
We kijken eerst naar de berekening van kwadraten, omdat we die ook kunnen gebruiken om andere berekeningen te vergemakkelijken.
Een kwadraat kan geschreven worden als: a2 = (a-b) * (a+b) + b2. Dit is gewoon een herschikking van bovenstaande formule.
Neem a=76 als voorbeeld. Hoeveel is 762? Spring naar het dichtstbijzijnde veelvoud van 10 (in dit geval 76->80, dus doe er 4 bij) en bereken eerst en vooral (76+4) * (76-4). Dat is 80*72 en dat is niet zo moeilijk: 80*70 + 80*2 = 5760. Doe er vervolgens 42 bij en je bent er: de uitkomst is 5776.
Het kwadraat van 74 is ofwel 70*78+42, ofwel 80*68+62. Het hangt ervan af of je op de 70 mikt (74-4) of op de 80 (74+6). Kies maar.
Kwadraten van een getal dat maar 1 eenheid afwijkt van een tiental (zoals 71) zijn op deze manier extra-gemakkelijk: 712 = 70*72+1 (zie ook infra voor een alternatief). Het kwadraat van 69 is 68*70+1. En vergeet die laatste "+1" in de berekening, zeg gewoon "1" aan het eind want het kwadraat van 1 of 9 eindigt altijd op 1. Dus "692 = 68*70 met als laatste cijfer van de uitkomst "1" i.p.v. "0".
Kwadraten met "5" als laatste cijfer, zoals 252, 352 enzovoort, zijn nog simpeler: je vermenigvuldigt de tientallen errond en je doet er 52bij. Dan krijg je in dit geval 25*25=(20*30)+52. Nog een ander bijvoorbeeld: 75*75=(70*80)+52.
Andere vermenigvuldigingen: centreren rond de 10
Er bestaat een heel interessant hulpmiddel voor berekeningen waarbij je kan centreren rond een veelvoud van tien, zoals
- 29*31 oftewel (30-1)*(30+1) = 302-12
- 51*29 oftewel (40+11)*(40-11) = 402-112
De regel is: je kwadrateert het basisgetal "a" (in het voorbeeld 29*31 is dat 30) en je trekt daar het kwadraat van b af (in het voorbeeld is b gelijk aan 1). Dus 29*31=302-12=899.
In het tweede geval (51*29) centreren we rond de 40. De berekening is dan 402-112 = 1600-121=1479. Ja, je moet de kwadraten tot en met pakweg 20 van buiten kennen, er is geen ontkomen aan. Maar ze zijn niet zo moeilijk: 122=144, 132=169, 142=196 (laatste twee cijfers omgekeerd), 152=225, 162=256 (denk aan de binaire getallen), en dan nog 172=289, 182=324 en 192=361.
Hoewel dit centreren rond een veelvoud van tien in een aanzienlijk gevallen kan helpen om snel tot een resultaat te komen, moet je er je niet op blindstaren. Kijk eerst en vooral of je de vermenigvuldiging niet "gewoon" uit het hoofd kan doen. In het tweede voorbeeld (51*29) was het bijvoorbeeld simpeler om 50*29 direct te berekenen (=100*29/2) en daar dan nog één keer 29 bij op te tellen.